Question

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m构成首项为2，公差为-2的等差数列a_m+1，a_m+2，…，a_2m，构成首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，其中m≥3，m∈N₊，
（l）当1≤n≤2m，n∈N₊，时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N₊，都有a_n+2m=a_n成立．
①当a₂₇=

1

64

时，求m的值；
②记数列{a_n}的前n项和为S_n．判断是否存在m，使得S_4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等差等比数列通项公式分段求出即可；
（2）①由a₂₇=

1

64

=(

1

2

)6，得m≥6，从而有2km+m+6=27，k∈N，由此可求得m值；②先求S_4m+1=2S_2m+a₁=，然后对不等式适当变形，根据函数单调性可作出判断；

解答：解：（1）当1≤n≤m时，a_n=2+（n-1）（-2）=-2n+4；
当m+1≤n≤2m时，an=am+1(

1

2

)n-m-1=(

1

2

)n-m；
所以an=

-2n+4，1≤n≤m，n∈N* ( 1 2 )n-m，m+1≤n≤2m，n∈N*

；
（2）①a₂₇=

1

64

=(

1

2

)6，所以m≥6，
则2km+m+6=27，即（2k+1）m=21，k∈N，
当k=0时，m=21；当k=1时，m=7；当k≥2时，m≤

21

5

＜6，
所以m的取值为：7或21；
②S_4m+1=2S_2m+a₁=2[2m+

m(m-1)

2

×(-2)+

1 2 (1- 1 2m )

1- 1 2

]+2=-2m²+6m+4-

2

2m

，
S_4m+1≥2即-2m²+6m+4-

2

2m

≥2，亦即-m2+3m+1≥

1

2m

，
当m=3时，不等式为1≥

1

8

成立，
当m≥4时，-m²+3m+1＜0，而

1

2m

＞0，不等式不成立，
所以存在符合条件的m=3．

点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力，能力要求较高．