Question

（2009•闵行区一模）已知无穷数列{a_n}，首项a₁=3，其前n项和为S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（a≠0，a≠1，n∈N^*）．若数列{a_n}的各项和为-

8

3

a，则a=

-

1

2

．

Answer 1

分析：由a_n+1=（a-1）•S_n+2，知a₂=3a-1，a₃=3a²-a，a₄=3a³-a²，由数学归纳法可以求得：a_n+1=3aⁿ-a^n-1，又由于a_n+1=（a-1）S_n+2，且|a|=1时S_n都不等于（-

8

3

）a．那么：S_n=（3aⁿ-a^n-1）×

1

a-1

，由此能求出a的值．

解答：解：由a_n+1=（a-1）•S_n+2 可以知道：
a₂=3a-1，
a₃=3a²-a，
a₄=3a³-a²，
由数学归纳法可以求得：a_n+1=3aⁿ-a^n-1，
又由于a_n+1=（a-1）S_n+2，
且|a|=1时S_n都不等于（-

8

3

）a
那么：S_n=（3aⁿ-a^n-1）×

1

a-1

，
当n趋向无穷大时：若|a|＞1，那么S_n也趋向无穷，不满足题意，
若|a|＜1，那么S_n=-

2

a-1

，
那么有：-

2

a-1

=-

8

3

a，
解得：a=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查数列的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．