Question

（2009•闵行区一模）已知以角B为钝角的△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

m

=(a，  2b)，

n

=(

3

，  -sinA)，且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+

3

cosA的取值范围．

Answer 1

分析：（1）两个向量垂直的充要条件是它们的数量积等于零，因此

m

•

n

=

3

a-2bsinA=0，将此式用正弦定理变成适于sinA、sinB的等式，两边约去sinA，可得sinB的值，再结合三角形内角的条件，可得角B的大小；
（2）将式子sinA+

3

cosA化简，合并为2sin(A+

π

3

)．由（1）得B=

2π

3

，根据三角形内角和定理，可得角A∈(0，

π

3

)，最后结合函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，可得sinA+

3

cosA的取值范围．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

．∴

m

•

n

=0，
得

3

a-2bsinA=0（2分）
由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，代入得：（3分）

3

sinA-2sinBsinA=0，sinA≠0，∴sinB=

3

2

，（ 5分）
因为B为钝角，所以角B=

2π

3

．（7分）
（2）∵sinA+

3

cosA=2sin(A+

π

3

)，（10分）
由（1）知 A∈(0，

π

3

)，A+

π

3

∈(

π

3

，

2π

3

)，
∴sin(A+

π

3

)∈(

3

2

，1]，（12分）
故sinA+

3

cosA的取值范围是(

3

，2]（14分）

点评：本题以三角函数为载体，考查了向量的数量积等知识，属于中档题．灵活运用三角形内角和的条件，并结合三角函数的性质是解决本题的关键．