Question

已知无穷数列{a_n}前n项和Sn=

1

3

an-1，则数列{a_n}的各项和为

 

Answer 1

分析：若想求数列的前N项和，则应先求数列的通项公式a_n，由已知条件Sn=

1

3

an-1，结合a_n=S_n-S_n-1可得递推公式an=-

1

2

an-1，因为是求无穷递缩等比数列的所有项的和，故由公式S=

lim

x→∞

Sn=

a1

1-q

=-1即得

解答：解：由Sn=

1

3

an-1可得：（n≥2）Sn-1=

1

3

an-1-1，
两式相减得并化简：an=-

1

2

an-1（n≥2），
又a1=

1

3

a1-1?a1=-

3

2

，
所以无穷数列{a_n}是等比数列，且公比为-

1

2

，
即无穷数列{a_n}为递缩等比数列，
所以所有项的和S=

lim

x→∞

Sn=

a1

1-q

=-1
故答案是-1

点评：本题主要借助数列前N项和与项的关系，考查了数列的递推公式和无穷递缩等比数列所有项和公式，并检测了学生对求极限知识的掌握，属于一个比较综合的问题．