Question

在四棱锥P-OABC中，PO⊥底面OABC，∠OCB=60°，∠AOC=∠ABC=90°，且OP=OC=BC=2．
（1）若D是PC的中点，求证：BD∥平面AOP；
（2）求二面角P-AB-O的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面AOP的法向量，再利用向量坐标运算证明线面平行；
（2）分别求出两平面的法向量，利用向量数量积运算求两法向量的夹角的余弦值．

解答：解：（1）证明：如图，建立空间直角坐标系O-xyz．
连接OB，易知△OBC为等边三角形，
P(0，0，2)，C(0，2，0)，B(

3

，1，0)，
则D（0，1，1），

BD

=(-

3

，0，1)．
又易知平面AOP的法向量
为   

OC

=(0，2，0)，
由

BD

•

OC

=-

3

×0+0×2+1×0=0，
得

BD

⊥

OC

，
又∵BD?平面AOP，
∴BD∥平面AOP
（2）在△OAB中，OB=2，∠AOB=∠ABO=30°，则∠OAB=120°，
由正弦定理，得OA=

2 3

3

，即A(

2 3

3

，0，0)，
∴

AB

=(

3

3

，1，0)，

PB

=(

3

，1，-2)．
设平面PAB的法向量为

m

=(x，y，z)，
由

m ⊥ AB m ⊥ PB

⇒

m • AB = 3 3 x+y=0 m • PB = 3 x+y-2z=0

，
令x=

3

，
则y=-1，z=1，
即

m

=(

3

，-1，1)
又平面OABC的法向量为

n

=

OP

=(0，0，2)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

| m • n |

| m || n |

=

2

5 ×2

=

5

5

．
∴二面角P-AB-O的余弦值为

5

5

点评：本题考查利用空间向量坐标运算证明线面平行、求二面角的大小．cos＜

m

，

n

＞=

| m • n |

| m || n |

．