Question

在四棱锥P-OABC中，PO⊥底面OABC，∠OCB=60°，∠AOC=∠ABC=90°，且OP=OC=BC=2．
（1）若D是PC的中点，求证：BD∥平面AOP；
（2）求二面角P-AB-O的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面AOP的法向量，再利用向量坐标运算证明线面平行；
（2）分别求出两平面的法向量，利用向量数量积运算求两法向量的夹角的余弦值．
解答：解：（1）证明：如图，建立空间直角坐标系O-xyz．
连接OB，易知△OBC为等边三角形，
，
则D（0，1，1），．
又易知平面AOP的法向量
为   ，
由，
得，
又∵BD?平面AOP，
∴BD∥平面AOP
（2）在△OAB中，OB=2，∠AOB=∠ABO=30°，则∠OAB=120°，
由正弦定理，得，即，
∴，．
设平面PAB的法向量为，
由，
令，
则y=-1，z=1，
即
又平面OABC的法向量为，
∴．
∴二面角P-AB-O的余弦值为
点评：本题考查利用空间向量坐标运算证明线面平行、求二面角的大小．cos＜，＞=．