Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在直线y=2x上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N⁺），且b₃=11，S₉=153．
b_n+2-2b_n+1+b_n=0
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意可得a_n+1=2a_n，即数列a_n为等比数列，代入等比数列的通项可求a_n；由b_n+2-2b_n+1+b_n=0⇒b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，从而可得数列b_n为等差数列，结合题中所给条件可求公差d，首项b₁，进一步可求数列的通项．
（II）由（I）可知数列a_nb_n分别为等差、等比数列，对数列c_n求和用错位相减．
解答：解：（Ⅰ）点（a_n，a_n+1）在直线y=2x上，
∴，数列{a_n}为等比数列，
又a₁=2，∴a_n=2ⁿ．
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n═b₂-b₁
即数列{b_n}为等差数列，∵b₁=11，S₉=153，设首项为b₁，公差为d．
b₁+2d=1，解得b₁=5，d=3，∴b_n=3n+2
（Ⅱ）c_n=b_n•a_n=（3n+2）•2ⁿ∴T_n=5•2+8•2²++（3n+2）•2ⁿ①
2T_n=5•2²+8•2³++（3n+2）•2ⁿ⁺¹②
①-②得：-T_n=5•2+3•2²++3•2ⁿ-（3n+2）•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（3n-1）•2ⁿ⁺¹+2
点评：本题主要考查了等差数列及等比数列的通项公式、定义，属于对基本概念、基本公式的考查，还考查了求和方法的乘公比错位相减求和，属于基础题中档题．