Question

已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1：y=-

x

2

和l2：y=

x

2

，焦点在y轴上，实轴长为2

3

，O为坐标原点．
（1）求双曲线方程；
（2）设P₁，P₂分别是直线l₁和l₂上的点，点M在双曲线上，且

P1M

=2

MP2

，求三角形P₁OP₂的面积．

Answer 1

分析：（1）先依题意可设双曲线方程，利用实轴长为2

3

，求得参数，从而写出双曲线方程；
（2）设P₁（-2y₁，y₁），P₂（2y₂，y₂）和点M（x₀，y₀）利用向量条件以及M在双曲线上得到三点的坐标之间的关系式，整理得y1y2=

27

8

，又直线P₁P₂的方程为

y-y1

y2-y1

=

x+2y1

2y2+2y1

令x=0得y=

2y1y2

y1+y2

最后利用三角形面积公式求三角形P₁OP₂的面积即得．

解答：解：（1）依题意可设双曲线方程为：y2-

x2

4

=λ(λ＞0)即

y2

λ

-

x2

4λ

=1
则2

λ

=2

3

∴λ=3∴双曲线方程为

y2

3

-

x2

12

=1…（5分）
（2）设P₁（-2y₁，y₁），P₂（2y₂，y₂）和点M（x₀，y₀）∵

P1M

=2

MP2

∴

x0= -2y1+4y2 3 y0= y1+2y2 3

又∵M在双曲线上∴

y

2 0

-

x 2 0

4

=3∴(

y1+2y2

3

)2-

1

4

(

-2y1+4y2

3

)2=3整理得y1y2=

27

8

…（9分）
又直线P₁P₂的方程为

y-y1

y2-y1

=

x+2y1

2y2+2y1

令x=0得y=

2y1y2

y1+y2

∴S△P1OP2=

1

2

•|

2y1y2

y1+y2

|•|(2y2+2y1)|=2|y1y2|=

27

4

…（13分）

点评：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．