Question

（选修4-1几何证明选讲）
如图，D，E分别是AB，AC边上的点，且不与顶点重合，已知AE=m，AC=n，AD，AB为方程x²-14x+mn=0的两根
（1）证明：C，B，D，E四点共圆；
（2）若∠A=90°，m=4，n=6，求C，B，D，E四点所在圆的半径．

Answer 1

分析：（I）根据圆内接四边形的判定定理，若C，B，D，E，须证∠ADE=∠ACB（外角等于相邻内角的对角），由已知证明△ADE∽△ACB后，根据对应角相等得到答案．
（II）将m=4，n=6，代入可求出AD，AB，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．解直角三角形DFH可得半径

解答：证明：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC
即

AD

AC

=

AE

AB

．又∠DAE=∠CAB，
从而△ADE∽△ACB  
因此∠ADE=∠ACB
所以C，B，D，E四点共圆．
（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x²-14x+mn=0的两根为x₁=2，x₂=12．
故  AD=2，AB=12．
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．
因为C，B，D，E四点共圆，
所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．
∴HF=AG=5，DF=

1

2

（12-2）=5．
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5

2

点评：本题考查的知识点是相似三角形的判定，圆内接四边形的判定定理，圆半径的求法，熟练掌握圆内接四边形的判定定理，是解答的关键．