Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，
（Ⅰ）若a=y-x，求a的最大值和最小值；
（Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线L：x+y-2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据圆C方程设出圆的参数方程，表示出x与y，代入a=y-x中，整理后化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出a的最大值和最小值；
（Ⅱ）根据圆心在直线L：x+y-2=0上，设出圆心D坐标，而圆D与圆C外切，得到圆心距CD等于两半径之和，利用两点间的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心D坐标，即可确定出圆D的方程．

解答：解：（Ⅰ）令

x=3+2cosθ y=4+2sinθ

，
∴a=y-x=4+2sinθ-3-2cosθ=2sinθ-2cosθ+1=2

2

sin（θ-

π

4

）+1，
∵-1≤sin（θ-

π

4

）≤1，即-2

2

≤sin（θ-

π

4

）≤2

2

，
则a的最大值为2

2

+1，最小值为1-2

2

；
（Ⅱ）依题意设D（a，2-a），
∵已知圆心C（3，4），r=2，且两圆相切，
∴CD=5，即

(a-3)2+(2-a-4)2

=5，
整理得：a²-a-6=0，即（a+2）（a-3）=0，
解得：a=-2或a=3，
∴D（3，-1）或D（-2，4），
则所求圆方程为（x-3）²+（y+1）²=9或（x+2）²+（y-4）²=9．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，圆的标准方程，以及圆的切线方程，弄清题意是解本题的关键．