Question

已知圆C：（x+3）²+（y-4）²=4．
（1）若直线l₁过点A（-1，0），且与圆C相切，求直线l₁的方程；
（2）若圆D的半径为4，圆心D在直线l₂：2x+y-2=0上，且与圆C内切，求圆D的方程．

Answer 1

分析：（1）分类讨论，利用直线与圆C相切，根据点到直线的距离公式，距离方程，即可求直线l₁的方程；
（2）由题意得，圆C的圆心C（-3，4），圆C的半径r=2，CD=2，从而可建立方程，即可求圆D的方程．

解答：解：（1）①若直线l₁的斜率不存在，直线l₁：x=-1，符合题意．   …（2分）
②若直线l₁的斜率存在，设直线l₁为y=k（x+1），即kx-y+k=0．
由题意得，

|-3k-4+k|

k2+1

=2，…（4分）
解得k=-

3

4

，∴直线l₁：3x+4y+3=0．…（7分）
∴直线l₁的方程是x=-1或3x+4y+3=0．                      …（8分）
（2）依题意，设D（a，2-2a），
由题意得，圆C的圆心C（-3，4），圆C的半径r=2，CD=2．…（12分）
∴

(a+3)2+(2-2a-4)2

=2，解得a=-1或a=-

9

5

，
∴D（-1，4）或D(-

9

5

，

28

5

)．…（14分）
∴圆D的方程为 （x+1）²+（y-4）²=16或(x+

9

5

)2+(y-

28

5

)2=16．       …（16分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线、圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．