Question

给出下列命题：
①已知函数f(x)=(

1

2x-1

)•x2-sinx+a(a为常数)，且f（log_a1000）=3，则f（lglg2）=3；
②若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则a∈（-4，0）；
③关于x的方程(

1

2

)x=lga有非负实数根，则实数a的取值范围是（1，10）；
④如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E、F分别是AB，AC的中点，平面EB₁C₁F将三棱柱分成几何体AEF-AB₁C₁和B₁C₁-EFCB两部分，其体积分别为V₁，V₂，则V₁：V₂=7：5．
其中正确命题的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：①、假设为真，则log_a1000=lglg2，若存在大于0且不为1的实数a，则命题为真，否则为假；
②、由于函数值域是R，则真数取遍（0，+∞）的所有数，进而得到a的范围；
③、由题意知，0＜lga＜1，解出不等式即可；
④、依据棱柱与棱台的体积公式，求出体积，进而得到结论．

解答：解：①、由题意知，函数f(x)=(

1

2x-1

)•x2-sinx+a(a为常数)既不是奇函数也不是偶函数，
若命题为真命题，则log_a1000=lglg2，
由于lglg2∈（-∞，0），则存在实数a∈（0，1）使上述方程成立，故①正确；
②、由于函数值域是R，则真数t=x²+ax-a需取遍（0，+∞）的所有数，
则△=a²+4a≥0，解得 a≤-4或a≥0，故②错；
③、由于x的方程(

1

2

)x=lga有非负实数根，所以x＞0，则(

1

2

)x∈(0，1)
得到0＜lga＜1，解得1＜a＜10，故③正确；
④、若设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积为S，高为h，则其体积为Sh，
由题意可得三棱台AEF-AB₁C₁的上下两底面的面积分别是S与

1

4

S，高为h，
得到此三棱台的体积是

7

12

Sh，则另一部分的体积是

5

12

Sh，故④正确．
故答案为 ①③④．

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了三角函数和对数函数的一些性质，我们可以根据三角函数，对数函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．