Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}}$）的图象经过三点（0，$\frac{1}{8}}$），（${\frac{5π}{12}$，0），（${\frac{11π}{12}$，0），且在区间（$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}}$）内有唯一的最值，且为最小值．
（1）求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（$\frac{A}{2}}$）=$\frac{1}{4}$且bc=1，b+c=3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得函数的周期，利用周期公式可求ω，由$Asin（{2×\frac{5}{12}π+φ}）=0$，结合0＜φ＜$\frac{π}{2}}$，可得φ，
再由Asin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{8}$，可求A，从而可求函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式；
（2）由$f（{\frac{A}{2}}）=\frac{1}{4}$，可求A，由余弦定理即可求得a的值．

解答 解：（1）由题意可得函数的周期$T=2（{\frac{11}{12}π-\frac{5}{12}π}）=π$，…（2分）
∴ω=2，又由题意当$x=\frac{5}{12}π$时，y=0，
∴$Asin（{2×\frac{5}{12}π+φ}）=0$，
结合0＜φ＜$\frac{π}{2}}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，…4分
再由题意可得：当x=0时，y=$\frac{1}{8}$，
∴Asin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{8}$，
∴A=$\frac{1}{4}$，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）…6分
（2）∵$f（{\frac{A}{2}}）=\frac{1}{4}$，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴A=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$，…（8分）
∵bc=1，b+c=3，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=9-3=6，
则$a=\sqrt{6}$．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．