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图形P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,Q是PC中点.AC,BD交于O点.
(1)二面角Q-BD-C的大小:
(2求二面角B-QD-C的大小.

Ⅰ)二面角Q-BD-C等于90°.(Ⅱ)二面角B-QD-C等于60°..

解析试题分析:(1)因为PA⊥面ABCD,连QO,则QO∥PA,所以QO⊥面ABCD,从而可证得面QBD⊥面ABCD,所求二面角为直二面角.
(2)解本小题的关键是作出二面角的平面角.过O作OH⊥QD,垂足为H,连CH,
CO⊥面QBD,CH在面QBD内的射影是OH,则∠OHC是二面角的平面角.然后解三角形即可.
Ⅰ)

解:连QO,则QO∥PA且QO=PA=AB
∵ PA⊥面ABCD
∴ QO⊥面ABCD
面QBD过QO,
∴ 面QBD⊥面ABCD
故二面角Q-BD-C等于90°.
(Ⅱ)解:过O作OH⊥QD,垂足为H,连CH.
∵ 面QBD⊥面BCD,
又∵ CO⊥BD
CO⊥面QBD
CH在面QBD内的射影是OH
∵ OH⊥QD
∴ CH⊥QD
于是∠OHC是二面角的平面角.
设正方形ABCD边长2,
则OQ=1,OD=,QD=
∵ OH·QD=OQ·OD
∴ OH=
又OC=
在Rt△COH中:tan∠OHC=·
∴ ∠OHC=60°
故二面角B-QD-C等于60°..
考点:线线平行,线面垂直,面面垂直的判定与性质,二面角,三垂线定理.
点评:掌握线线,线面,面面垂直的判定与性质是解决好本题的前提,解第二问的关键是作出二面角的平面角,一般要考虑利用三垂线定理来做或(找)角,通过本题要认真体会这种方法.

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