Question

在三棱锥V-AC中VA、VB、VC两两互相垂直，且VA=VC=2，若二面角V-AB-C为60°
（1）求二面角V-BC-A的大小；
（2）求侧棱VB之长．

Answer 1

解：（1）∵VA、VB、VC两两互相垂直，∴VC⊥面VAB，VC⊥AB
在面VAB中，作VE垂直AB与E，连接VE，则 AB⊥面VEC，∴AB⊥EC，∴∠CEV即为二面角二面角V-AB-C的平面角，，∴∠CEV=60°，
同样地过V作VF⊥BC于F，连接 AF，则∠AFV为二面角V-BC-A 的平面角．
∵△AVB≌CVB．∴VE=VF，∴△CEV≌△AFV，∴∠AFV=∠CEV=60°
二面角V-BC-A的大小为60°
（2）设VB=x，在直角三角形AVB中，AB×VB=AB×VE，VE=VCcot60°=，
∴ 解得x=
∴VB=．
分析：（1）在面VAB中，作VE垂直AB与E，连接VE，则 AB⊥面VEC，AB⊥EC，∠CEV即为二面角二面角V-AB-C的平面角，同样地过V作VF⊥BC于F，连接 AF，则∠AFV为二面角V-BC-A 的平面角，利用△CEV≌△AFV，求出∠AFV=∠CEV=60°
（2）设VB=x，在直角三角形AVB中，利用等面积法列方程求出x即可．
点评：本题主要考查二面角的大小计算，解三角形．解答时要将空间角转化为平面角，通过解三角形求出大小．