Question

在三棱锥V-ABC中，底面△ABC是以∠ABC为直角的等腰三角形．又V在底面ABC上的射影H在线段AC上且靠近点C，AC=4，，VB和底面ABC所成的角为45°．
（Ⅰ）求点V到底面ABC的距离；
（Ⅱ）求二面角V-AB-C的大小的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据条件可知VH⊥底面ABC，连BH，设BH=VH=h，O为AC的中点，在Rt△ABC中，求出OB，在Rt△OBH中，求出OH，在Rt△VAH中，利用勾股定理建立等式，即可求出h，得到所求；
（Ⅱ）过H作HM⊥AB于M，连接VM，根据二面角的平面角的定义可知∠VMH为二面角V-AB-C的平面角，最后在三角形VMH中求出此角的正切值．
解答：解：（Ⅰ）∵V在底面ABC上的射影H在线段AC上且靠近点C，
∴VH⊥底面ABC．连BH，则∠VBH=45°．设BH=VH=h，O为AC的中点，
则BO⊥AC，BO⊥OH．∴在Rt△ABC中，．在Rt△OBH中，．
在Rt△VAH中，，解得．故点V到底面ABC的距离为．
（Ⅱ）∵，∴．过H作HM⊥AB于M，连接VM，则∠VMH为二面角V-AB-C的平面角．
∵，∴．
点评：本题考查立体几何的距离问题和二面角大小的问题．考查考生的运算能力及空间关系的理解能力．