Question

已知数列{a_n}满足下列条件：a₁=1，a₂=r（r＞0），且数列{a_na_n+1}是一个以q（q＞0）为公比的等比数列．设b_n=a_2n-1+a_2n（n∈N^*），S_n=b₁+b₂+…+b_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（2）求

lim

n→∞

1

sn

．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

anan+1

an-1   an

=

an1

an-1

=q，即

bn+1

bn

=

a2n+1+a2n+2

a2n-1+a2n

=q，利用等比数列的通项公式可求bn=(1+r)•qn-1
（2）由等比数列的求和公式可知，要求S_n，需要讨论q的值是否为1，分q=1时，S_n=（1+r）n，q≠1时，Sn=

(1+r)(1-qn)

1-q

，代入可求极限

解答：解：（1）因为数列{a_na_n+1}是一个以q（q＞0）为公比的等比数列
所以

anan+1

an-1   an

=

an1

an-1

=q（n≥2），因此

bn+1

bn

=

a2n+1+a2n+2

a2n-1+a2n

=q
所以{b_n}是一个以1+r为首项，以q为公比的等比数列．
∴bn=(1+r)•qn-1
（2）q=1时，S_n=（1+r）n，

lim

n→∞

 

1

Sn

 =0
q≠1时，Sn=

(1+r)(1-qn)

1-q

，

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1-q

(1+r)(1-qn)

若0＜q＜1，

lim

n→∞

1

Sn

=

1-q

1+r

若q＞1，

lim

n→∞

1

Sn

=0
∴

lim

n→∞

1

Sn

=

0，q≥1 1-q 1+r ，0＜q＜1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求通项公式，等比数列求和公式的应用，数列极限的求解，要注意等比数列求和公式应用时对公比q的讨论