Question

【题目】已知函数f（x）=ex ， g（x）=mx2+ax+b，其中m，a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数． （I）函数h（x）=xf （x），当a=l，b=0时，若函数h（x）与g（x）具有相同的单调区间，求m的值；
（II）记F（x）=f（x）﹣g（x）．当a=2，m=0时，若函数F（x）在[﹣1，2]上存在两个不同的零点，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ex ， 函数h（x）=xf（x）， ∴h（x）=xex ， ∴h′（x）=ex+xex ，
∵h′（x）=ex+xex=0，x=﹣1，
h′（x）=ex+xex＞0，x＞﹣1，
h′（x）=ex+xex＜0，x＜﹣1，
∴h（x）=xex ， （﹣∞，﹣1）上单调递减，（﹣1，+∞）单调递增，x=﹣1时h（x）取极小值，
∵当a=1，b=0时g（x）=mx2+ax+b=mx2+x，若函数h（x）与g（x）具有相同的单调区间，
∴﹣ =﹣1，m= ；
（Ⅱ）当m=0，a=2时，F（x）=ex﹣2x﹣b，
∴F′（x）=ex﹣2，
∵F′（x）=ex﹣2=0，x=ln2，
F′（x）=ex﹣2＞0，x＞ln2
F′（x）=ex﹣2＜0，x＜ln2，
∴F（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
F（x）的最小值为F（ln2）=2﹣2ln2﹣b，
∵函数F（x）在[﹣1，2]上存在两个不同的零点，
∴2﹣2ln2﹣b＜0，F（﹣1）≥0，F（2）≥0，
解得出：b＞2﹣2ln2，b≤ +2，b≤e2﹣4，
即2﹣2ln2＜b≤ +2
【解析】（Ⅰ）求解导数得出：h（x）=xex ， （﹣∞，﹣1）上单调递减，（﹣1，+∞）单调递增，x=﹣1时h（x）去极小值．（Ⅱ）当m=0时，记F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣ax﹣b，F（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，F（x）的最小值为F（ln2）=2﹣2ln2﹣b，根据函数性质得出：2﹣2ln2﹣b＜0，F（﹣1）≥0，F（2）≥0．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．