精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD, ,E是BD的中点.
  (1)求证:EC//平面APD;
(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值;
(3) 求二面角P-AB-D的大小.
解法一:(Ⅰ)如图,取PA中点F,连结EF、FD,
∵E是BP的中点,
∵EF//AB且,又∵
∴EFDC∴四边形EFDC是平行四边形,故得EC//FD
又∵EC平面PAD,FD平面PAD,∴EC//平面ADE.    …………………4分
(Ⅱ)取AD中点H,连结PH,因为PA=PD,所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD     ∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD内的射影   ∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角
∵四边形ABCD中, 
∴四边形ABCD是直角梯形  
设AB=2a,则,在中,易得,
,又∵
是等腰直角三角形,

∴在中,.   …………………8分
(III)在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点,连结PG,则HG是PG在平面ABCD上的射影,故PG⊥AB,所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角,由AB="2a"
,又
中,
∴二面角P-AB-D的大小为.   …………………12分
解法二:   
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设AB=2a,同解法一中的(Ⅱ)可得
如图,以D点为原点,DA所在直线为x轴,DB所在直线为y轴,过D点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系.则

平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),
所以,
可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为
所以 PB与平面ABCD所成角的正切值为.    …………………8分
(III)易知,则,设平面PAB的一个法向量为,则   
,可得 得
所以二面角P-AB-D的大小为.     …………………12分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

)设,求的值(   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

的展开式中的的系数是___________

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

展开式的各项系数之和为32,则          ,其展开式中的常数项为          .(用数字作答)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若(1+2x)100=a0+a1(x-1)+…+a100(x-1)100,则a1+a2+…+a100=(  )
A.5100-3100B.5100C.3100D.3100-1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

的二项展开式的项数是(   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

的展开式中所有项的系数之和为,则(  )
A.4B.5C.6D.7

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

的展开式中,若第项与第项系数相等,且等于多少?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

的展开式中x的系数为           

查看答案和解析>>

同步练习册答案