Question

已知椭圆的左右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），上顶点为M，且△MF₁F₂是等边三角形．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点Q（4，0）的直线l交椭圆C于不同的两点A、B，设点A关于x轴的对称点为A₁，求证：直线A₁B与x轴交于一个定点，并求出此定点坐标．

Answer 1

解：（1）由题设知，，
∴C的方程为．
（2）直线l不垂直于x轴，
当l不垂直于y轴时，设l的方程为x=ky+4，
由，得（3k²+4）y²+24ky+36=0，
∵△＞0，∴b²＞4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A₁（x₁，-y₁），
，
直线，
∵x₁y₂+x₂y₁=2ky₁y₂+4（y₁+y₂）=，
∴直线即y=恒过定点（1，0）．
∴A₁B恒过定点（1，0）．
分析：（1）由题设知，，由此能求出C的方程．
（2）当l不垂直于y轴时，设l的方程为x=ky+4，由，得（3k²+4）y²+24ky+36=0，由△＞0，知b²＞4．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A₁（x₁，-y₁），，直线x₁y₂+x₂y₁=2ky₁y₂+4（y₁+y₂）=，由此能够证明直线A₁B恒过定点（1，0）．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．