Question

已知函数f（x）=x+

3a2

x

-2alnx在区间（1，2）内是增函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：常规题型,导数的综合应用

分析：函数在区间（1，2）内是增函数，转化成导数在这个区间上大于等于0恒成立问题，然后把恒成立转化成导数的最小值大于等于0．

解答： 解：∵f′（x）=1-

3a2

x2

-

2a

x

=

x2-2ax-3a2

x2

  要使函数f（x）=x+

3a2

x

-2alnx在区间（1，2）内是增函数，需f′（x）≥0在（1，2）上恒成立；
  即

x2-2ax-3a2

x2

≥0在（1，2）上恒成立，
  即x²-2ax-3a²≥0在（1，2）上恒成立，
  设h（x）=x²-2ax-3a²，则它的对称轴为x=a，
  ①当a≤1时，h（1）=1-2a-3a²≥0，解得-1≤a≤

1

3

；
  ②当1＜a＜2时，△=4a²+12a²≤0，a不存在；
  ③当a≥2时，h（2）=4-4a-3a²≥0，a不存在；
综上可知，a的取值范围是-1≤a≤

1

3

．
故答案为：-1≤a≤

1

3

．

点评：本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，重点考查了转化思想与分类讨论的思想；关键是把问题转化成求最值问题解决．