Question

已知数列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想a_n的通项公式，并给予证明．

Answer 1

（1）n=1时 a₂=2×1+1=3
n=2时 a₃=2×3+1=7
n=3时 a₄=2×7+1=15
（2）猜想a_n=2ⁿ-1．证明
①当n=1时，a₁=2¹-1=1，命题成立．
②假设n=k（k≥1）时命题成立．即 a_k=2^k-1．
那么n=k+1时，a_k+1=2×a_k+1=2×（2^k-1）+1=2^k+1-1．命题对n=k+1也成立
综上①②可知命题对一切自然数都成立．