Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

45

+

y2

20

=1的两个焦点，M是椭圆上的第一象限内的点，且MF₁⊥MF₂．
（1）求△MF₁F₂的周长；
（2）求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据椭圆的方程得出长半轴的长，进而得出焦距的长，再由椭圆的定义可得△MF₁F₂的周长；
（2）设点M坐标为（x₀，y₀），在Rt△F₁PF₂中，由勾股定理结合椭圆的定义，结合三角形的面积可解得y₀，再代入椭圆的方程，从而求得点M的坐标．

解答：解：椭圆

x2

45

+

y2

20

=1中，长半轴a=3

5

，焦距2c=2

45-20

=10
（1）根据椭圆定义，|MF1|+|MF2|=2a=6

5

所以，△MF₁F₂的周长为|F1F2|+|MF1|+|MF2|=6

5

+10
（2）设点M坐标为（x₀，y₀）
由MF₁⊥MF₂得，
|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=102=100，

又(|MF1|+|MF2|)2=(6 5 )2=180

，
∴

|MF1|•|MF2|= 1 2 [(|MF1|+|MF2|)2-(|MF1|2+|MF2|2)]2=40

S△MF1F2= 1 2 |MF1|•|MF2|= 1 2 |F1F2|•|y0| ∴|y0|=4，则|x0|=3

∵M是椭圆上的第一象限内的点，
∴点M坐标为（3，4）．

点评：本题考查椭圆的简单性质和定义，以及勾股定理的应用，属于基础题．