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已知向量
a
=(cosx,4sinx-2),
b
=(8sinx,2sinx+1)
,x∈R,设函数f(x)=
a
b

(1)求函数f(x)的最大值;
(2)在△ABC中,A为锐角,角A,B,C的对边分别为a,b,c,f(A)=6,且△ABC的面积为3,b+c=2+3
2
,求a的值.
分析:(1)利用两个向量的数量积公式,两角和的正弦公式化简函数f(x)=
a
b
 的解析式为 4
2
sin(2x-
π
4
)+2,由此可得函数f(x)的最大值.
(2)由A为锐角,f(A)=6,求得sin(2A-
π
4
)=
2
2
,A=
π
4
.再根据△ABC的面积为3求得bc的值.再根据 b+c=2+3
2
,利用余弦定理求得a的值.
解答:解:(1)∵函数f(x)=
a
b
=8sinxcosx+(4sinx-2)(2sinx+1)=4sin2x-4cos2x+2
=4
2
sin(2x-
π
4
)+2,
∴函数f(x)的最大值为 4
2
+2.
(2)在△ABC中,∵A为锐角,f(A)=6,∴4
2
sin(2A-
π
4
)+2=6,解得 sin(2A-
π
4
)=
2
2

∴A=
π
4

∴△ABC的面积为3=
1
2
•bc•sinA=
2
4
bc,∴bc=6
2

再根据 b+c=2+3
2

可得 a2=b2+c2-2bc•cosA=(b+c)2-2bc-2bc×
2
2
=10,∴a=
10
点评:本题主要考查两个向量的数量积公式,两角和的正弦公式,正弦函数的定义域和值域、以及余弦定理的应用,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(-cosα,1+sinα)
b
=(2sin2
α
2
,sinα)

(Ⅰ)若|
a
+
b
|=
3
,求sin2α的值;
(Ⅱ)设
c
=(cosα,2)
,求(
a
+
c
)•
b
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(cosωx-sinωx,sinωx)
b
=(-cosωx-sinωx,2
3
cosωx)
,其中ω>0,且函数f(x)=
a
b
(λ为常数)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的图象的对称轴;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象经过点(
π
4
,0)
,求函数y=f(x)在区间[0,
12
]
上的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(cos
θ
2
,sin
θ
2
)
b
=(2,1)
,且
a
b

(1)求tanθ的值;
(2 )求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
),  sin(ωx-
π
4
)),  
b
=(sin(
2
3
π-ωx), sin(ωx+
π
4
))
(其中ω>0).若函数f(x)=2
a
b
-1
的图象相邻对称轴间距离为
π
2

(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)在[-
π
12
,  
π
2
]
上的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(cosθ,sinθ),
b=
(cos2θ-1,sin2θ),
c
=(cos2θ,sin2θ-
3
)
.其中θ≠kπ,k∈Z.
(1)求证:
a
b

(2)设f(θ)=
a
c
,且θ∈(0,π),求f(θ)
的值域.

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