Question

18．已知空间四点A（2，0，0），B（0，2，1），C（1，1，1），D（-1，m，n）．
（1）若AB∥CD，求实数m，n的值；
（2）若m+n=1，且直线AB和CD所成角的余弦值为$\frac{1}{3}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，1），$\overrightarrow{CD}$=（-2，m-1，n-1），利用AB∥CD，即可求实数m，n的值；
（2）若m+n=1，且直线AB和CD所成角的余弦值为$\frac{1}{3}$，即$\frac{|1+2m+n|}{3\sqrt{4+（m-1）^{2}+（n-1）^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，即可求实数m的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，1），$\overrightarrow{CD}$=（-2，m-1，n-1），
∵AB∥CD，
∴m-1=2，n-1=1，
∴m=3，n=2；
（2）由题意，$\frac{|1+2m+n|}{3\sqrt{4+（m-1）^{2}+（n-1）^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，m+n=1，
∴m=3$±2\sqrt{2}$．

点评 本题考查空间角的计算，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．