Question

已知数列首项，公比为的等比数列，又，常数，数列满足，

（1）、求证为等差数列；

（2）、若是递减数列，求的最小值；（参考数据：）

（3）、是否存在正整数，使重新排列后成等比数列，若存在，求的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意知，，……………………………………………………1分

因为，

∴数列是首项为，公差的等差数列．……………………………4分

 （2）由（1）知，，，

恒成立，即恒成立，……………6分

因为是递减函数，

所以，当n=1时取最大值，，……（）

因而，因为，所以．………………………………………………………8分

  

（3）记，，

，．9分

①、若是等比中项，则由得

化简得，解得或（舍），

所以，因而   及   ．………11分

②、若是等比中项，则由得化简得

，显然不成立．………………13分

③、若是等比中项，则由

得

化简得，因为不是完全不方数，因而，x的值是无理数，显然不成立．……15分

综上：存在适合题意。………16分