Question

已知数列首项，公比为的等比数列，又，常数，数列满足，
（1）、求证为等差数列；
（2）、若是递减数列，求的最小值；（参考数据：）
（3）、是否存在正整数，使重新排列后成等比数列，若存在，求的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意知，，…………………………………………1分
因为， 
∴数列是首项为，公差的等差数列．………………4分
（2）由（1）知，，，
恒成立，即恒成立，…………6分
因为是递减函数，
所以，当n=1时取最大值，，……（）
因而，因为，所以．………………………………………………………8分
（3）记，，
，．9分
①、若是等比中项，则由得
化简得，解得或（舍），
所以，因而  及  ．………11分
②、若是等比中项，则由得
化简得
，显然不成立………13分
③、若是等比中项，则由
得
化简得，因为不是完全不方数，
因而，x的值是无理数，显然不成立．……15分
综上：存在适合题意。………16分

解析