Question

2．已知等差数列{a_n}满足a₁+a₂=15，a₂₀₁₆-a₂₀₁₅=3．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1-b_n=$\frac{1}{3}$a_n（n∈N^*）．求通项b_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的定义求出公差d与首项a₁，即可得出通项公式a_n；
（Ⅱ）根据题意，求出b_n+1-b_n的表达式，再利用叠加法求出通项b_n的表达式．

解答 解：（Ⅰ）在等差数列{a_n}中，
由a₂₀₁₆-a₂₀₁₅=3知，公差d=3；
又因为a₁+a₂=15，即2a₁+d=15，
解得a₁=6，
所以通项公式为：
a_n=6+3（n-1）=3n+3；
（Ⅱ）由b_n+1-b_n=$\frac{1}{3}$a_n（n∈N^*），得
b_n+1-b_n=$\frac{1}{3}$×（3n+3）=n+1；
所以通项b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+（b_n-2-b_n-3）+…+（b₂-b₁）+b₁
=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1
=$\frac{n（n-1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的定义与通项公式的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，是综合性题目．