Question

【题目】已知数列{an}的首项为a1=2，且满足a1+a2+…+an﹣an+1=﹣2．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足 ，求数列{anbn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵数列{an}满足a1+a2+…+an﹣an+1=﹣2．

∴a1+a2+…+an﹣1﹣an=﹣2．

相减可得：2an=an+1．

∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为 ．

∴an=2× = ．

（II）由（I）可得：a1a2…an= = = ．

bn= × = ．

∴anbn= =（3﹣n） ．

∴Tn=2+1× +0﹣1× ﹣…+（3﹣n） ，

=1+ +0﹣ ﹣…+（4﹣n） +（3﹣n） ．

∴ Tn=2﹣ ﹣ ﹣…﹣ +（n﹣3） =3﹣ +（n﹣3） ．

可得：Tn=2+

【解析】（I）由已知条件可得a1+a2+a3+-an=-2，与已知等式相减；（II）构造数列cn=anbn并求出cn通项，利用错位相减法可求出Tn.
【考点精析】利用等比关系的确定和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．