Question

12．对任意两个非零的平面向量$\overrightarrow{α}$和$\overrightarrow{β}$，定义α○β=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$．若平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$|＞0，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{b}$○$\overrightarrow{a}$都在集合{$\frac{n}{4}$|n∈Z}中，则$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow{b}|}$∈{$\frac{n}{4}$|n∈Z}，$\overrightarrow{b}$○$\overrightarrow{a}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|cosθ}{|\overrightarrow{a}|}$∈{$\frac{n}{4}$|n∈Z}．由平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$|＞0，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$≥1，cosθ∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow{b}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow{b}|}$∈{$\frac{n}{4}$|n∈Z}，
$\overrightarrow{b}$○$\overrightarrow{a}$=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{a}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|cosθ}{|\overrightarrow{a}|}$∈{$\frac{n}{4}$|n∈Z}．
∵平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$|＞0，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$≥1，cosθ∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．
取$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$=$\sqrt{3}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，n=3．
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{3}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查了数量积运算性质、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．