Question

17．已知函数f（x）=1-$\frac{4}{2{a}^{x}+a}$（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程|f（x）•（2^x+1）|=m有1个实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（0）=0，求a的值；
（Ⅱ）设h（x）=|f（x）•（2^x+1）|，g（x）=m，则m=0或m≥1，两函数图象有一个交点，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=1-$\frac{4}{2{a}^{x}+a}$（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即1-$\frac{4}{2+a}$=0，∴a=2；
（Ⅱ）设h（x）=|f（x）•（2^x+1）|，g（x）=m，如图所示，
m=0或m≥1，两函数图象有一个交点，
∴关于x的方程|f（x）•（2^x+1）|=m有1个实根时，实数m的取值范围是m=0或m≥1．

点评 本题考查奇函数的性质，考查函数的图象，正确作出函数的图象是关键．