Question

函数f（x）=

x

1-x

（0＜x＜1）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：a1=

1

2

，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x），的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

bn

a 2 n

-

λ

an

}的项中仅

b5

a 2 5

-

λ

a5

最小，求λ的取值范围；
（3）令函数g（x）=[f^-1（x）+f（x）]-

1-x2

1+x2

，0＜x＜1．数列{x_n}满足：x₁=

1

2

，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n）（其中n∈N^*）．证明：

(x2-x1)2

x1x2

+

(x3-x2)2

x2x3

+…+

(xn+1-xn)2

xnxn+1

＜

5

16

．

Answer 1

分析：（1）令y=

x

1-x

，解得x=

y

1+y

；由0＜x＜1，解得y＞0．所以函数f（x）的反函数f-1(x)=

x

1+x

(x＞0)．由an+1=f-1(an)=

an

1+an

，得

1

an+1

-

1

an

=1由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由f-1(x)=

x

1+x

(x＞0)，知y=f^-1（x）在点（n，f^-1（n））处的切线方程为y-

n

n+1

=

1

(1+n)2

(x-n)，令x=0得bn=

n2

(1+n)2

．由此能求出λ的取值范围．
（3）g(x)=[f-1(x)+f(x)]•

1-x2

1+x2

=[

x

1+x

+

x

1-x

]•

1-x2

1+x2

=

2x

1+x2

，x∈(0，1)．所以xn+1-xn=xn(1-xn)•

1+xn

x 2 n +1

，由0＜x_n＜1，知x_n+1＞x_n．1＞xn+1＞xn＞…x2＞

1

2

．由此入手能够证明：

(x2-x1)2

x1x2

+

(x3-x2)2

x2x3

+…+

(xn+1-xn)2

xnxn+1

＜

5

16

．

解答：解：（1）令y=

x

1-x

，解得x=

y

1+y

；由0＜x＜1，解得y＞0．
∴函数f（x）的反函数f-1(x)=

x

1+x

(x＞0)．
则an+1=f-1(an)=

an

1+an

，得

1

an+1

-

1

an

=1．∴{

1

an

}是以2为首项，1为公差的等差数列，故an=

1

n+1

．
（2）∵f-1(x)=

x

1+x

(x＞0)，∴[f-1(x)]′=

1

(1+x)2

，∴y=f^-1（x）在点（n，f^-1（n））处的切线方程为y-

n

n+1

=

1

(1+n)2

(x-n)，令x=0得bn=

n2

(1+n)2

．
∴

bn

a 2 n

-

λ

an

=n2-λ(n+1)=(n-

λ

2

)2-λ-

λ2

4

．
∵仅当n=5时取得最小值，∴4.5＜

λ

2

＜5.5．
∴λ的取值范围为（9，11）．
（3）g(x)=[f-1(x)+f(x)]•

1-x2

1+x2

=[

x

1+x

+

x

1-x

]•

1-x2

1+x2

=

2x

1+x2

，x∈(0，1)．
所以xn+1-xn=xn(1-xn)•

1+xn

x 2 n +1

，又因0＜x_n＜1，则x_n+1＞x_n．显然1＞xn+1＞xn＞…x2＞

1

2

．xn+1-xn=xn(1-xn)•

1+xn

x 2 n +1

≤

1

4

•

1

xn+1+ 2 xn+1 -2

＜

1

4

•

1

2 2 -2

=

2 +1

8

∴

(xn+1-xn)2

xnxn+1

=

xn+1-xn

xnxn+1

(xn+1-xn)=(xn+1-xn)(

1

xn

-

1

xn+1

)＜

2 +1

8

(

1

xn

-

1

xn+1

)
∴

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn+1-xn)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

[(

1

x1

-

1

x2

)+(

1

x2

-

1

x3

)+…+(

1

xn

-

1

xn+1

)]=

2 +1

8

(

1

x1

-

1

xn+1

)=

2 +1

8

(2-

1

xn+1

)∵

1

2

＜xn+1＜1，
∴1＜

1

xn+1

＜2，∴0＜2-

1

xn+1

＜1∴

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn+1-xn)2

xnxn+1

=

2 +1

8

(2-

1

xn+1

)＜

2 +1

8

＜

3 2 +1

8

=

5

16

．

点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地进行等价转化．