Question

7．如图，已知抛物线C：x²=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y₀）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点在曲线上，以及抛物线的定义，列出方程求解即可．
（Ⅱ）利用方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通过韦达定理x₁+x₂，x₁x₂，利用$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$，求解即可．

解答 解（Ⅰ）由题意，$\left\{\begin{array}{l}16=2p{y_0}\\ \frac{p}{2}+{y_0}=5\end{array}\right.$，解得p=2或p=8，由题意0＜p＜4，所以p=2，y₀=4．
所以抛物线标准方程为x²=4y．（5分）
（Ⅱ）抛物线的焦点坐标（0，1）直线l的方程的方程为：y=kx+1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，消去y，得x²-4kx-4=0，
显然△=16k²+16＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k①，x₁x₂=-4②
又$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$，所以$（-{x_1}，1-{y_1}）=\frac{1}{2}（{x_2}，{y_2}-1）$，即x₂=-2x₁③
由①②③消去x₁，x₂，得${k^2}=\frac{1}{8}$，由题意，$k=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
故直线l的方程为$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x+1$．（7分）

点评 本题考查抛物线方程的求法，仔细与抛物线的综合应用，考查计算能力．