Question

16．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（A+C），$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos2B，2cos$\frac{B}{2}$-1），且向量$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=1，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量共线的性质求得tan2B的值，再根据△ABC为锐角三角形，B的值．
（2）若b=1，则由余弦定理、基本不等式求得 ac 的最大值，可得△ABC面积为$\frac{1}{2}$ac•sinB，求得它的最大值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（A+C），$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos2B，2cos$\frac{B}{2}$-1），且向量$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
∴2sin（A+C）（2cos²$\frac{B}{2}$-1）-$\sqrt{3}$cos2B=0，即 2sinBcosB=$\sqrt{3}$cos2B，
∴tan2B=$\frac{sin2B}{cos2B}$=$\sqrt{3}$．
再根据△ABC为锐角三角形，可得0＜B＜$\frac{π}{2}$，∴2B=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{6}$．
（2）若b=1，则由余弦定理可得 b²=1=a²+c²-2ac•cosB≥2ac-$\sqrt{3}$ac，
解得 ac≤$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$，当且仅当a=c时，取等号，
故△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{3}$）•$\frac{1}{2}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理、基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．