Question

某人在国庆节那天，上午7时，乘摩托艇以匀速v（4≤v≤20）海里/小时从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以速度w（30，≤w≤100）公里/小时自B港向距300公里 的C市驶去，打算在同一天下午16点至晚上21点到达C市．设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x小时，y小时．
（Ⅰ）确定x，y应满足的线性约束条件．
（Ⅱ）如果已知所用的经费P=100+3（5-x）+2（8-y）（元），那么v，w分别是多少时走得最经济？此时需要花费多少元？

Answer 1

分析：（Ⅰ）分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件；
（Ⅱ）由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．

解答：解：（Ⅰ）依题意得v=

50

y

，w=

300

x

，4≤v≤20，30≤w≤100．
∴3≤x≤10，

5

2

≤y≤

25

2

．
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即9≤x+y≤14．
∴x，y应满足的线性约束条件为

3≤x≤10 5 2 ≤y≤ 25 2 9≤x+y≤14

；
（Ⅱ）线性约束条件为

3≤x≤10 5 2 ≤y≤ 25 2 9≤x+y≤14

是图中阴影部分（包括边界）．
∵p=100+3•（5-x）+2•（8-y），
∴3x+2y=131-p．
设131-p=k，那么当k最大时，p最小．
在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为-

3

2

的直线3x+2y=k中，
使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小．
此时，v=12.5，w=30，p的最小值为93元．

点评：本题考查不等式关系的建立，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．