(09年长沙一中一模理)(13分)已知函数f (x) = lnx,g (x) =(a>0),设F(x) = f (x) + g (x).
(1)求函数F(x)的单调区间;
(2)若点为函数
的图象上任意一点,当
时,点P处的切线的斜率k≤
恒成立,求实数a的最小值;
(3)是否存在实数m,使得函数y = g() + m 1的图象与函数y = f (1 + x2)的图象恰有四个不同的交点?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.
解析:(1)F(x) = f (x) + g (x) = lnx +(x>0),F′(x) =
.
∵a>0,由F′(x)>0x∈(a,+∞),∴F(x)在[a,+∞)上单调递增.
由F′(x)<.0x∈(0,a),∴F(x)在(0,a]上单调递减.
∴F(x)的单调递减区间为(0,a],单调递增区间为[a,+∞). ……3分
(2)F′(x) =,k = F′(x0) =
≤
(0<x0≤3)
恒成立,
当x0 = 1时,取得最大值
.
∴a≥,∴amin =
. ……6分
(3)若y = g+ m 1 =
x2 + m
的图象与y = f (1 + x2) = ln(x2 +1)的图象恰有四个不同的交点,即
有四个不同的根,亦即m = ln(x2 + 1)
x2 +
有四个不同的根.
令G(x) = ln(x2 + 1) ,则G′(x) =
x =
当x变化时,G′(x)、G (x)的变化情况如下表:
x | (∞,1) | (1,0) | (0,1) | (1,+∞) |
G′(x)的符号 | + | + | ||
G (x)的单调性 | 增 | 减 | 增 | 减 |
……10分
由表格知:G (x)极小值 = G (0) =,G (x)极大值 = G (1) = G (1) = ln2>0, ……11分
画出草图和验证G(2) = G(2) = ln5 2 +<
可知,当m∈(
,ln2)时,y = G (x)与y = m恰有四个不同的交点.
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(09年长沙一中一模文)(13分) 设椭圆:
的离心率为
,点
,
,原点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点为
,点
在椭圆
上(与
、
均不重合),点
在直线
上,若直线
的方程为
,且
,试求直线
的方程.
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(09年长沙一中一模文)(12分) 现有甲、乙两个盒子,甲盒子里盛有4个白球和4个红球,乙盒子里盛有3个白球和若干个红球,若从乙盒子里任取两个球取得同色球的概率为.
(1)求乙盒子中红球的个数;
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(09年长沙一中一模理)(12分)在如图所示的多面体中,底面△ABC是边长为2的正三角形,DA和EC均垂直于平面ABC,且DA = 2,EC = 1.
(Ⅰ)求点A到平面BDE的距离;
(Ⅱ)求二面角BEDA的正切值.
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(09年长沙一中一模理)(12分)某单位小会议室里的3只白炽灯泡已坏,电工李师傅前往会议室更换。若所带灯泡包装盒中共有6只灯泡(外观形状完全一样),其中4只好的,2只坏的。李师傅每次随机从包装盒中任取一只(每只被取的概率相同),若取出的灯泡是好的,则将其更换小会议室已坏的灯泡,若取出的灯泡是坏的,则不再放回包装盒,也不能用它更换小会议室已坏的灯泡.
(Ⅰ)求李师傅第二次所取的灯泡是好的的概率;
(Ⅱ)设李师傅全部更换了小会议室的3只已坏灯泡时,从包装盒中所取灯泡次数为
,求
的分布列和期望.
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