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设定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足以下条件:①对于任意实数a,b,都有f(a•b)=f(a)+f(b)-p,其中p是正实数;②f(2)=p-1;(2)③x>1时,总有f(x)<p
(1)求f(1)及f(
12
)
的值(写成关于p的表达式);
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是减函数.
分析:本题考查的是抽象函数与函数的单调性知识的综合应用问题.在解答时,对于(1)只需要利用特值得方法即可获得解答;对于(2)要利用好条件③再结合单调性的定义证明即可获得解答.
解答:解:(1)∵f(a)+f(b)-P=f(a•b),
令a=b=1,则f(1)=P
f(1)=f(2•
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)-P
=f(
1
2
)+(P-1)-P=f(
1
2
)-1

f(
1
2
)=P+1

(2)设0<x1<x2f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(
x2
x1
x1)

=f(x1)-f(
x2
x1
)-f(x1)+P
=P-f(
x2
x1
)

x2
x1
>1
,∴f(
x2
x1
)<P
∴f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.
点评:本题考查的是抽象函数与函数的单调性知识的综合应用问题.在解答的过程当中充分体现了抽象函数特值的思想、函数单调性以及问题转化的思想.值得同学们体会反思.
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