Question

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足以下条件：①对于任意实数a，b，都有f（a•b）=f（a）+f（b）-p，其中p是正实数；②f（2）=p-1；（2）③x＞1时，总有f（x）＜p
（1）求f(1)及f(

1

2

)的值（写成关于p的表达式）；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：本题考查的是抽象函数与函数的单调性知识的综合应用问题．在解答时，对于（1）只需要利用特值得方法即可获得解答；对于（2）要利用好条件③再结合单调性的定义证明即可获得解答．

解答：解：（1）∵f（a）+f（b）-P=f（a•b），
令a=b=1，则f（1）=P
f(1)=f(2•

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)-P=f(

1

2

)+(P-1)-P=f(

1

2

)-1
∴f(

1

2

)=P+1
（2）设0＜x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(

x2

x1

•x1)
=f(x1)-f(

x2

x1

)-f(x1)+P=P-f(

x2

x1

)
∵

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＜P∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考查的是抽象函数与函数的单调性知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了抽象函数特值的思想、函数单调性以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．