Question

（2012•房山区二模）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对于任意实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-5；②f（2）=4．则f（1）=

5

；若a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），数列{a_n}的前项和为S_n，则S_n的最大值是

10

．

Answer 1

分析：由①得f（1）=f（1）+f（1）-5，解出即得f（1）；多次用①可求得a_n表达式，由表达式易判断该数列为等差数列，根据该等差数列的各项符号变化规律可求得S_n的最大值．

解答：解：由①得f（1）=f（1）+f（1）-5，即f（1）=5，
a_n=f（2ⁿ）=f（2×2^n-1）=f（2）+f（2^n-1）-5=f（2）+f（2×2^n-2）-5=2f（2）+f（2^n-2）-2×5=…=nf（2）-5（n-1）=4n-5（n-1）=-n+5，
易知数列{a_n}为首项为4，公差为-1的等差数列，
令a_n≥0，即-n+5≥0，解得n≤5，
所以数列{a_n}的前4项为正数，第5项为0，
故数列前4项、或前5项和最大，最大值为S4=S5=5×4+

5×4

2

×(-1)=10，
故答案为：5；10．

点评：本题考查函数恒等式、数列的求和，考查学生观察分析能力、解决问题的能力．