Question

已知数列{a_n}满足

a□1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1

2n

=n2+n(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由

a1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1

2n

=n2+n，(n∈N+)，知

a1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1-1

2n-1

=（n-1）²+n-1=n²-n（n≥2，n∈N⁺），由此能够得到数列{a_n}的通项公式．
（II）设b_n=n•2ⁿ⁺¹，其前n项和为T_n，则T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，由错位相减法能够得到T_n，从而能够得到数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（I）∵

a1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1

2n

=n2+n，(n∈N+)①
∴

a1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1-1

2n-1

=（n-1）²+n-1=n²-n（n≥2，n∈N⁺），②
由①-②得：

an-1

2n

=2n，∴a_n=n•2ⁿ⁺¹+1，n≥2，n∈N⁺，③
在①中，令n=1，得a₁=5，适合③式，∴a_n=n•2ⁿ⁺¹+1，n∈N⁺．
（II）设b_n=n•2ⁿ⁺¹，其前n项和为T_n，则：
T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，①
2T_n=1×2³+2×2⁴+…+n×2ⁿ⁺²，②
②-①，得T_n=-2²-2³-…-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²
=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．
∴S_n=T_n+n=（n-1）•2ⁿ⁺²+n+4．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意迭代法和错位相减法的合理运用．