Question

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，且在点（1，f（1）） 的切线方程为y=2x-2．
（1）求函数f（x）的表达式．
（2）求曲线y=f（x）在点M（x₀，f（x₀））处的切线方程，并求曲线y=f（x）在点M（x₀，f（x₀））处的切线与曲线y=f（x）围成封闭图形的面积．
（3）如果过点（2，t）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数得f（-x）+f（x）=0恒成立可求得b，d值，求出y=f（x）在点（1，f（1）） 的切线方程，对比y=2x-2的系数可求得a，c值；
（2）写出点M处切线方程，联立方程组求得另一交点横坐标分x₀＞0时，x₀＜0时，x₀=0时三种情况利用定积分即可求得；
（3）设切点为（x₀，f（x₀）），写出过点（2，t）的切线方程，问题转化为2x03-6x02+t+2=0  关于x₀有三个不同的解，进而构造函数转化为函数有三个零点，利用导数求出极值，借助图形可得限制条件；

解答：解：（1）f（-x）+f（x）=0，所以bx²+d=0恒成立，
所以b=d=0，
所以f（x）=ax³+cx，
又f′（x）=3ax²+c，所以在点（1，f（1））的切线方程为y=（3a+c）（x-1）+a+c，即y=（3a+c）x-2a，
所以

3a+c=2 -2a=-2

，解得

a=1 c=-1

，
所以f（x）=x³-x．
（2）解：设切点为（x₀，f（x₀）），f′（x）=3x²-1，
则切线方程是：y=（3x02-1）（x-x₀）+（x03-x0），
令x³-x=（3x02-1）（x-x₀）+（x03-x₀），得x3-3x02x+2x03=0，
所以（x-x₀）²（x+2x₀）=0，所以曲线与切线的另一公共点的横坐标是-2x₀，
x₀＞0时，S=

∫

x0 -2x0

(x3-3x02x+2x03)dx=（

1

4

x⁴-

3

2

x02x2+2x03x）

|

x0 -2x0

=

27

4

x04，
x₀＜0时，S=-

∫

-2x0 x0

(x3-3x02x+2x03)dx=

∫

x0 -2x0

(x3-3x02x+2x03)dx=

27

4

x04，
x₀=0时，切线与曲线恰有一个公共点，S=0=

27

4

x04，
综上：曲线y=f（x）在点M（x₀，f（x₀））处的切线与曲线y=f（x）围成封闭图形的面积S=

27

4

x04（x₀∈R）．
（3）解：令切线过（2，t），代入整理得：
2x03-6x02+t+2=0  关于x₀有三个不同的解；
设g（x）=2x³-6x²+t+2，即g（x）有三个不同的零点；      
又g′（x）=6x（x-2），
所以x∈（0，2）时g′（x）＜0，g（x）递减；x∈（-∞，0）∪（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在区间（-∞，0）∪（2，+∞）上分别递增，
故

g(0)=t+2＞0 g(2)=t-6＜0

，解得-2＜t＜6．
所以实数t的取值范围为-2＜t＜6．

点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查定积分求图形面积，考查分类讨论思想，考查学生的转化能力．