Question

（本小题满分14分）

如图一，平面四边形关于直线对称，．

把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：

（1）求两点间的距离； 

（2）证明：平面；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）取的中点，连接，

由，得：

                                      

就是二面角的平面角，

                               …………………………2分

在中，

    

                                           …………………………4 分                                                                                                                                                                     

（Ⅱ）由，

                            …………………………6分

，                          

又

平面．                              　 …………………………8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面

平面

∴平面平面     　　　　　　　　　　　　　…………………………10分

平面平面，

作交于，则平面，

就是与平面所成的角，         　　　　…………………………12分

．                …………………………14分

方法二：设点到平面的距离为，

∵                                　　　…………………………10分

          

                                    　　　…………………………12分

于是与平面所成角的正弦为

．                             　　…………………………14

方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则

．  ………10分

设平面的法向量为n，则

n， n，

取，则n，       ----------12分

于是与平面所成角的正弦即

．              　　　

                                …………………………14分

【解析】略