Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}，首项a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比数列，
（1）求等差数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若从数列{a_n}中抽出部分项：a₁，a₂，a₄，…，a 2n-1，…构成一个新的数列{a 2n-1}，n∈N^*，证明：数列{a 2n-1}，n∈N^*为等比数列；
（3）求和：a₁+a₂+a₄+…+a 2n-1（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可知：a_n=n，可得a2n-1=2n-1(n∈N*)，利用等比数列的定义即可证明；
（3）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）解：设公差为d，则d≠0，
又a₁，a₂，a₄成等比数列，则有a22=a1a4，又首项a₁=1，
∴（1+d）²=1×（1+3d）
化简得：d²-d=0，又d≠0，解得：d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，即：a_n=n．
（2）证明：由（1）可知：a_n=n，∴a2n-1=2n-1(n∈N*)，
∴

a2n-1

a2n-2

=

2n-1

2n-2

=2
∴数列{a2n-1}，n∈N*为等比数列．
（3）解：由（2）可知：数列{a2n-1}，n∈N*为等比数列，
∴a1+a2+a4+…+a2n-1=1+2+4+…+2n-1=

1×(1-2n)

1-2

=2n-1
即：a1+a2+a4+…+a2n-1=2n-1．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式及其的前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．