Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），圆心在坐标原点，半径为

ab

a2+b2

的圆C₁定义为椭圆C的“友好圆”．若椭圆C的离心率为e=

6

3

，且其短轴上的一个端点到右焦点F的距离为

3

．
（1）求椭圆C的方程及其“友好圆”圆C₁的方程．
（2）过椭圆中心O的两条弦PR与QS互相垂直，试探讨四边形PQRS与圆C₁的位置关系；
（3）在（2）条件下，求四边形PQRS面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）通过椭圆离心率和短轴上的一个端点到右焦点F的距离为

3

，即可求出椭圆的标准方程，进而求出其“友好圆”方程．
（2）设直线QS的方程为y=kx，利用已知条件建立k的等式，财利用方程的基础知识进行化简．
（3）在（2）的基础上求内接菱形PQRS的面积的取值范围，当QS的斜率存在且不为0时，先求出S12=

36(k+ 1 k )2

3(k2+ 1 k2 )+10

，记k+

1

k

=t，由此能求出四边形PQRS面积的取值范围．

解答： 解：（1）由题意知a=

b2+c2

=

3

，e=

c

a

=

6

3

，
解得c=

2

，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1，
设圆C₁的半径为r，则r2=

3×1

3+1

=

3

4

，
∴圆C₁的方程为x²+y²=

3

4

．
（2）∵过椭圆的两条弦PR与QS互相垂直，
∴由图形的对称性知四边形PQRS为菱形，
即研究椭圆的任意内接菱形PQRS与圆C₁的位置关系，
只需求原点到菱形PQRS每一条边的距离即可，
当QS的斜率不存在或斜率为0时，
菱形PQRS的四个顶点分别是椭圆的顶点，
原点到每条边的距离都是

ab

a2+b2

=

3

2

，
此时菱形PQRS与圆C₁相切，
当QS的存在且不为0时，设QS的斜率为k，不妨设k＞0，
直线QS的方程为y=kx，代入椭圆

x2

3

+y2=1，得x2=

3

3k2+1

，
菱形PQRS的四个顶点必然分别在四个象限中，
不妨设S，P，Q，R依次在第一、二、三、四象限，则有S（

3

3k2+1

，

3 k

3k2+1

），
将点S坐标中的k换成-

1

k

，得P（-

3 k

3+k2

，

3 k

3+k2

），
∴|SP|²=（

3

3k2+1

+

3 k

3+k2

）²+（

3 k

3k2+1

-

3

3+k2

）²=

12(k2+1)2

(3k2+1)(3+k2)

，
又|OS|²=

3(k2+1)

3k2+1

，|OP|²=

3(k2+1)

3+k2

，
记原点O到直线SP的距离为d，
同时可求得原点O到PQ，QR，RS的距离都是

3

2

=r
∴四边形PQRS与圆C₁相切．
（3）记菱形PQRS的面积为S₁，当QS的斜率为0时，
菱形PQRS的四个顶点分别为椭圆的四个顶点，S1=2ab=2

3

，
当QS的斜率存在且不为0时，设QS的斜率为k，不妨设k＞0，
直线QS的方程为y=kx，代入椭圆G的方程

x2

3

+y2=1，
得

x2

3

+y2=1，得x2=

3

3k2+1

，
由（2）知|OS|²=

3(k2+1)

3k2+1

，|OP|²=

3(k2+1)

3+k2

，
S₁=2|OS|•|OP|，
∴S12=4|OS|²•|OP|²=4•

3(k2+1)

3k2+1

•

3(k2+1)

3+k2

，
分子、分母同时除以k²，得S12=4•

3(k2+1)

3k2+1

•

3(k2+1)

3+k2

=

36(k+ 1 k )2

3(k2+ 1 k2 )+10

，记k+

1

k

=t，
则t≥2，k2+

1

k2

=t²-2，
则S12=

36(k+ 1 k )2

3(k2+ 1 k2 )+10

=

36t2

3t2+4

=

36

3+ 4 t2

，
S12在t∈（2，+∞）上是单调增函数，3+

4

t2

∈（3，4]，
S12=

36

3+ 4 t2

∈[9，12），
则S₁∈[3，2

3

）．
综上所述，四边形PQRS面积的取值范围为[3，2

3

]．

点评：本题考查椭圆的方程及其“友好圆”的方程的求法，试探讨四边形PQRS与圆C₁的位置关系，考查四边形PQRS面积的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．