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    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    1
    2
    ，且过点（-
    2
    		6
    3
    ，1）．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）过椭圆的右焦点F作两条直线分别与椭圆交于A，C与B，D，若
    AC
    •
    BD
    =0，求四边形ABCD面积的取值范围．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由已知条件得3a2=4b2，
    8
    3a2
    +
    1
    b2
    =1    ，由此能求出椭圆方程．
    （2）当AC，BD中有一条与x轴垂直时，四边形ABCD的面积为S=6，当AC，BD与x轴都不垂直时，设直线AC为y=k（x-1），k≠0，直线BD为y=-
    1
    k
    (x-1)    ．由
    y=k(x-1)
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，得|AC|=
    12(1+k2)
    4k2+3
    ，同理|BD|=
    12(k2+1)
    3k2+4
    ，由此能求出四边形ABCD面积的取值范围是（6，
    288
    49
    ]．
    解答： 解：（1）设椭圆的集中为2c，则椭圆的离心率
    c
    a
    =
    1
    2
    ，
    ∴
    a2-b2
    a2
    =
    1
    4
    ，∴3a2=4b2，①
    把点（-
    2
    		6
    3
    ，1）代入椭圆方程
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0），
    得
    8
    3a2
    +
    1
    b2
    =1    ，②
    由①②解得a2=4，b2=3，
    ∴椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （2）当AC，BD中有一条与x轴垂直时，把x=1代入椭圆，
    得y=±
    3
    2
    ，∴其中一条弦长为3，
    四边形ABCD的面积为S=
    1
    2
    |AC|•|BD|=
    1
    2
    ×4×3=6    ，
    当AC，BD与x轴都不垂直时，设直线AC为y=k（x-1），k≠0，
    则直线BD为y=-
    1
    k
    (x-1)    ．
    由
    y=k(x-1)
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
    设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=
    8k2
    4k2+3
    ，x1x2=
    4k2-12
    4k2+3
    ，
    ∴|AC|=
    		1+k2
    •
    		(x12+x22)-4x1x2

    =
    		1+k2
    •
    		(
    8k2
    4k2+3
    )2-
    4(4k2-12)
    4k2+3

    =
    12(1+k2)
    4k2+3
    ，
    同理，|BD|=
    12[1+(-
    1
    k
    )2]
    4(-
    1
    k
    )2+3
    =
    12(k2+1)
    3k2+4
    ，
    ∴四边形ABCD的面积为：
    S=
    1
    2
    |AC|•|BD|    =
    1
    2
    •
    12(1+k2)
    4k2+3
    •
    12(k2+1)
    3k2+4

    =
    72k4+144k2+72
    12k4+25k2+12

    =6-
    6k2
    12k4+25k2+12

    =6-
    6
    12k2+
    12
    k2
    +25
    ，
    而12k2+
    12
    k2
    ≥24    ，当且仅当k2=1时取等号，
    ∴S≥6-
    6
    49
    =
    288
    49
    ，且S＜6，
    综上，四边形ABCD面积的取值范围是[6，
    288
    49
    ]．
    点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．
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    2x-1(0≤x＜1)
    1
    x
    (x≥1)
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    A、（-1，1）
    B、（-
    1
    3
    ，
    1
    3
    ）
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    x
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    π
    4
    ，
    π
    2
    ）且f（α+
    3π
    8
    ）=
    2-
    		6
    4
    ，求α的值．

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    （Ⅰ）求cosA；
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    		2
    ，且b＞c，求b，c．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    （1）求椭圆C的方程；
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    		3
    ，
    （1）求P的轨迹C的方程；
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0），圆心在坐标原点，半径为
    ab
    		a2+b2
    的圆C1定义为椭圆C的“友好圆”．若椭圆C的离心率为e=
    		6
    3
    ，且其短轴上的一个端点到右焦点F的距离为
    		3
    ．
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