Question

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）若α∈（

π

4

，

π

2

）且f（α+

3π

8

）=

2- 6

4

，求α的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦公式、两角和与差的正弦公式化简函数解析式，化为一个角的正弦函数，由正弦函数的最小值和周期公式求解；
（Ⅱ）将α+

3π

8

代入f（x）化简f（α+

3π

8

）=

2- 6

4

，求出三角函数值，再由α范围求出α+

3π

8

得范围，再求出α得值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos²x+sinxcosx=

cos2x+1

2

+

1

2

sin2x
=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∴T=

2π

2

=π，f(x)min=-

2

2

+

1

2

∴f（x）的最小正周期和最小值是π、-

2

2

+

1

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，
∴f（α+

3π

8

）=

2

2

sin(2α+

3π

4

+

π

4

)+

1

2

=-

2

2

sin2α+

1

2

=

2- 6

4

，
解得sin2α=

3

2

，
∵α∈（

π

4

，

π

2

），∴α+

3π

8

∈（

5π

8

，

7π

8

），
∴2α=

2π

3

，解得α=

π

3

，
故α的值是

π

3

．

点评：本题考查二倍角的正弦、余弦公式、两角和与差的正弦公式，以及正弦函数的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．