Question

已知函数y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|≤π），当x=

π

6

时，y取最小值1；此函数的最小正周期为

4π

3

，最大值为5．
（1）求出此函数的解析式；
（2）写出此函数的单调区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的最值求得 A、B的值，由周期求得ω=

3

2

，再根据特殊点的坐标求得φ的值，可得函数的解析式．
（2）令2kπ-

π

2

≤

3

2

x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间，同理由2kπ+

π

2

≤

3

2

x-

3π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得函数的减区间．

解答： 解：（1）由题意可得 A=1，T=

2π

ω

=

4π

3

，∴ω=

3

2

，
再根据A=

5-1

2

=2，b=5-2=3，故函数y=3sin（

3

2

x+φ）+3．
再根据x=

π

6

时，y取最小值1，可得2sin（

3

2

×

π

6

+φ）+3=1，
∴sin（

3

2

×

π

6

+φ）=-1．
结合|φ|≤π，可得φ=-

3π

4

，
∴函数y=3sin（

3

2

x-

3π

4

）+3．
（2）令2kπ-

π

2

≤

3

2

x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得

4kπ

3

+

π

6

≤x≤

4kπ

3

+

5π

6

，
故函数的增区间为[

4kπ

3

+

π

6

，

4kπ

3

+

5π

6

]，k∈z．
同理，由2kπ+

π

2

≤

3

2

x-

3π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得函数的减区间为[

4kπ

3

+

5π

6

，

4kπ

3

+

3π

2

]，k∈z．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调区间，属于基础题．