Question

已知F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P（-1，

2

2

）在椭圆上，且椭圆的离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）⊙O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，且与椭圆交于不同的两点A、B．当

OA

•

OB

=λ，且

2

3

≤λ≤

3

4

，求△AOB面积S的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题

分析：（Ⅰ）由点P（-1，

2

2

）在椭圆上，且椭圆的离心率为

2

2

，求出a，b，即可求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由圆O与直线l相切，知

|m|

k2+1

=1，联立直线与椭圆，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直线l与椭圆交于两个不同点，得到k²＞0，由此能推导出△AOB的面积S的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵点P（-1，

2

2

）在椭圆上，且椭圆的离心率为

2

2

，
∴

1

a2

+

1 2

b2

=1，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，∴

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1，
联立直线与椭圆，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁•x₂=

2m2-2

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

1-k2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

1+k2

1+2k2

=λ，
∵

2

3

≤λ≤

3

4

，
∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，
∴

1

2

≤k²≤1，
S=S_△ABO=

1

2

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

，
 设u=k⁴+k²，则

3

4

≤u≤2，S=

2u 4u+1

，u∈[

3

4

，2]，
∵S关于u在[

3

4

，2]单调递增，S（

3

4

）=

6

4

，S（2）=

2

3

，
∴

6

4

≤S≤

2

3

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．