Question

已知a为不等于0的实数，函数f（x）=（x²+ax）e^x在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x₀．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求证：-2＜x₀＜-1；
（ⅱ）设g（x）=

a

x+1

，若x₁∈（-∞，0），x₂∈[0，+∞），记|f（x₁）-g（x₂）|的最大值为M，求M的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=（x²+ax）e^x在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x₀，可得f'（0）=a＜0；
（Ⅱ）（ⅰ）令f'（x）=0，求出x₀，即可证明；
（ⅱ）M=f（x₀）-g（0）=f（x₀）-a，进而可得M=f（x₀）-a=-

x02

x0+1

•ex0+

x02+2x0

x0+1

，求导，确定单调性，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=（x²+ax）e^x
∴f'（x）=[x²+（a+2）x-2a]e^x，
∵函数f（x）=（x²+ax）e^x在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x₀．
∴f'（0）=a＜0；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：令f'（x）=0，则
a＜0时，x₀=

-(a+2)- a2+4

2

=-1-

2

a2+4 -a

，
∵a＜0，∴0＜

2

a2+4 -a

＜1
∴-2＜-1-

2

a2+4 -a

＜-1
∴-2＜x₀＜-1；
（ⅱ）解：a＜0时，函数f（x）=（x²+ax）e^x在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x₀．
f（x）=（x²+ax）e^x＞0在（-∞，0）上恒成立，故f（x₁）∈（0，f（x₀）]，
且g（x）=

a

x+1

在[0，+∞）上单调递增，故g（x₂）∈[g（0），0），
∴M=f（x₀）-g（0）=f（x₀）-a．
由f'（x₀）=0，可得a=-

x02+2x0

x0+1

，
∴f（x₀）=-

x02

x0+1

•ex0，
∴M=f（x₀）-a=-

x02

x0+1

•ex0+

x02+2x0

x0+1

，
令h（x₀）=-

x02

x0+1

•ex0+

x02+2x0

x0+1

（-2＜x₀＜-1）
则h′（x₀）=

-x0(x02+2x0+2)

(x0+1)2

•ex0+

x02+2x0+2

(x0+1)2

＞0
∴h（x₀）＞h（-2）=

4

e2

，
∴M＞

4

e2

．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．