Question

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为

3

4

．
（1）求抛物线C的方程．
（2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）依题意知F（0，

p

2

），由题意知

3p

4

=

3

4

，由此能求出抛物线C的方程．
（2）假设存在点M（x₀，

x02

2

），（x₀＞0）满足条件，由导数的几何意义得直线MQ的方程为y-

x02

2

=x₀（x-x₀）．令y=

1

4

得Q（

x0

2

+

1

4x0

，

1

4

），由|QM|=|OQ|，推导出存在点M（

2

，1），使得直线MQ与抛物线C相切于点M．

解答： 解：（1）依题意知F（0，

p

2

），
圆心Q在线段OF的垂直平分线y=

p

4

上．
因为抛物线C的准线方程为y=-

p

2

，
所以

3p

4

=

3

4

，即p=1．
因此抛物线C的方程为x²=2y．
（2）假设存在点M（x₀，

x02

2

），（x₀＞0）满足条件，
抛物线C在点M处的切线斜率为y′|x=x₀=（

x2

2

）′| x=x0=x| x=x0=x₀，
所以直线MQ的方程为y-

x02

2

=x₀（x-x₀）．
令y=

1

4

得x_Q=

x0

2

+

1

4x0

．
∴Q（

x0

2

+

1

4x0

，

1

4

）
又|QM|=|OQ|，
∴(

1

4x0

-

x0

2

)2+（

1

4

-

x02

2

）²=（

1

4x0

+

x0

2

）²+

1

16

，
∴（

1

4

-

x02

2

）²=

9

16

，
又x₀＞0，所以x₀=

2

，此时M（

2

，1）．
故存在点M（

2

，1），使得直线MQ与抛物线C相切于点M．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．