Question

如图：四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AB=AC=2PA=2，PC=

5

．
AD∥BC，∠BAD=150°．
（Ⅰ）证明：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求点B到平面PAC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由勾股定理得PA⊥AC，又PA⊥AD，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取BC中点E，连结AE，设点B到平面PAC的距离为h．由V_P-ABC=V_B-PAC，利用等积法能求出点B到平面PAC的距离．

解答： （Ⅰ）证明：因为PA=1，AC=2，PC=

5

…（1分）
所以PC²=PA²+AC²．
所以PA⊥AC…（3分）   
又因为PA⊥AD，且AD∩AC=A…（4分）
所以PA⊥平面ABCD…（5分）
（Ⅱ）解：取BC中点E，连结AE，
设点B到平面PAC的距离为h．
由（Ⅰ）PA⊥平面ABCD，
所以VP-ABC=

1

3

×S△ABC×PA．…（6分）
因为∠BAD=150°，AD∥BC，所以∠ABC=30°．
又因为AB=AC=2，所以BC=2

3

，AE=1．…（7分）
所以VP-ABC=

1

3

×

1

2

×2

3

×1×1=

3

3

…8 分
又V_P-ABC=V_B-PAC，
所以VB-PAC=

1

3

×S△PAC×h=

3

3

…（10分）
而AC=2，PA=1，知S△PAC=

1

2

×2×1=1，…（11分）
所以

1

3

×1×h=

3

3

，所以h=

3

，
所以点B到平面PAC的距离h=

3

…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意认真审题，注意等积法的合理运用．